2015 год, №1-2

Содержание выпуска
Exponential stability of solutions to one class of nonlinear systems of neutral type with periodic coefficients in linear terms
Demidenko G. V., Matveeva I. I.
Стр. 3 — 11
We study the problem on exponential stability of the zero solution to a class of nonlinear systems of neutral type with periodic coefficients in linear terms. We establish conditions of exponential stability and obtain estimates for solutions.
On properties of solutions to one class of systems of nonlinear differential equations with parameters
Matveeva I. I.
Стр. 13 — 24
We consider a class of systems of nonlinear ordinary differential equations with parameters. In particular, systems of such type arise when modeling the multistage synthesis of a substance. We study properties of solutions to the systems and propose a method for approximate solving the systems in the case of very large coefficients. We establish approximation estimates and show that the convergence rate depends on the parameters characterizing the nonlinearity of the systems. Moreover, the larger the coefficients of the systems, the more exact the approximate solutions. Thereby this method allows us to avoid difficulties arising inevitably when solving systems of nonlinear differential equations with very large coefficients.
О градиентно-подобных потоках на локально-тривиальных расслоениях
Гуревич Е. Я., Зинина С. Х.
Стр. 25 — 30
В работе получена топологическая классификация трехмерных многообразий, допускаю- щих градиентно-подобные потоки, неблуждающее множество которых принадлежит притягивающим и отталкивающим инвариантным замкнутым поверхностям. Показано, что такие многообразия являются локально-тривиальными расслоениями над окружностью (то есть фактор-пространствами прямого про- изведения поверхности Sg на отрезок [0 , 1] по отношению эквивалентности ( z, 1) ∼ ( τ, 0), где τ : Sg → Sg - некоторый гомеоморфизм). Получены достаточные условия, при выполнении которых склеивающий го- меоморфизм τ изотопен периодическому гомеоморфизму.
Энергетическая функция для А-диффеоморфизмов поверхностей с одномерными нетривиальными базисными множествами
Гринес В. З., Носкова М. К., Починка О. В.
Стр. 31 — 37
В настоящей работе устанавливается существование энергетической функции для А- диффеоморфизмов, заданных на замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях, не имеющих циклов и имеющих нетривиальные базисные множества только размерности один. Известно, что каждое базисное множество такого диффеоморфизма является либо аттрактором, либо репеллером и локально устроено как декартово произведение канторова множества на интервал. Несмотря на сложную топо- логию неблуждающего множества, построенная энергетическая функция является функцией Морса вне нетривиальных аттракторов и репеллеров, и является константой на базисном множестве.
О топологии 3-многообразий, допускающих псевдоаносовские аттракторы и репеллеры
Гринес В. З., Починка О. В., Шиловская А. А.
Стр. 39 — 42
В работе введен класс G гомеоморфизмов, заданных на трехмерных многообразиях, таких, что их неблуждающие множества состоят из объединения псевдоаносовских аттракторов и репеллеров. Доказано, что несущее многообразие M 3 такого гомеоморфизма диффеоморфно многообразию M τ , по- лученному из M 2 × [0 , 1] отождествлением точек ( z, 1) и ( τ ( z ) , 0), где τ является либо псевдоаносовским гомеоморфизмом, либо периодическим гомеоморфизмом, сохраняющим слоения некоторого псевдоано- совского гомеоморфизма
О типах ячеек Ω-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях
Круглов В. Е., Митрякова Т. М., Починка О. В.
Стр. 43 — 49
В классических работах А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, М. Пейшото (M. Peixoto) топологическая классификация потоков с конечным числом особых траекторий на поверхностях следовала из канонического описания динамики в областях (ячейках), на которые эти траектории делят несущее многообразие. В настоящей работе описаны все допустимые ячейки для клас- са Ω-устойчивых потоков без периодических траекторий на ориентируемых поверхностях. Полученное описание позволяет представить динамику рассматриваемых потоков комбинаторным образом.
Geometry of centers of the polynomial Cauchy-Riemann systems
Ivanov V. V.
Стр. 51 — 56
Autonomous polynomial systems satisfying the Cauchy-Riemann conditions on the complex plane are studied. Every of them is defined by one complex polynomial. For the fourth degree polynomials whose roots are centers, we prove that they are simple; moreover, either all of them lie on a straight line or three of them form an acute triangle and the fourth root is located at the intersection of its altitudes.
О динамике эндоморфизмов двумерного тора с одномерными базисными множествами
Куренков Е. Д.
Стр. 57 — 60
В настоящей заметке рассматриваются эндоморфизмы, заданные на замкнутом двумер- ном многообразии, удовлетворяющие аксиоме А. В работах Пшетыцкого (F. Przytycki) были получены необходимые и достаточные условия Ω-устойчивости таких эндоморфизмов. Также он показал, что в лю- бой окрестности Ω-неустойчивого эндоморфизма существует счетное число попарно Ω-несопряженных эндоморфизмов. В данной работе строится пример однопараметрического семейства Ω-сопряженных, но топологически несопряженных эндоморфизмов двумерного тора.
О существовании и единственности сбалансированной оптимальной траектории одной математической модели экономического роста
Кузнецов Ю. А., Круглов Е. В.
Стр. 61 — 68
В работе рассматривается дискретная математическая модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала типа Лукаса. В достаточно общей постановке исследует- ся связанная с этой моделью оптимизационная задача о «конкурентном равновесии», в рамках которой изучаются вопросы существования оптимальных сбалансированных траекторий. Эти траектории соот- ветствуют неподвижным точкам некоторой трехмерной динамической системы с дискретным временем. В статье определяются условия существования оптимальной сбалансированной траектории, устанавли- вается единственность такой траектории и приводится её аналитическое представление.
О минимальности J-симметрической и J-самосопряжённой дилатаций линейного оператора с непустым множеством регулярных точек
Кудряшов Ю. Л., Третьяков Д. В.
Стр. 69 — 75
В статье доказывается минимальность J-симметрической и J-самосопряженной дилатаций плотно заданного оператора A с непустым множеством регулярных точек. Пространства J-дилатаций строятся с помощью дефектных подпространств исходного оператора. Дефектные подпространства опе- ратора A и J-метрики пространств J-дилатаций образуются полярными разложениями дефектных опе- раторов. Минимальность указанных дилатаций гарантируются сепарабельностью дефектных подпро- странств
Рациональный базис в дифференциальном поле инвариантов для группы треугольных матриц
Муминов К. К., Чилин В. И.
Стр. 77 — 83
Устанавливается явный вид конечного дифференциального рационального базиса в поле дифференциальных рациональных функций, инвариантных относительно действия группы всех невы- рожденных нижне-треугольных n × n матриц над полем действительных или комплексных чисел.
Аналоги теоремы о неподвижных точках c использованием специальных свойств непрерывности
Стонякин Ф. С.
Стр. 85 — 92
В работе получены новые версии теоремы о неподвижной точке для отображений выпук- лых ограниченных подмножеств банахова пространства в себя без требования предкомпактности его образа. В банаховых пространствах, имеющих счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов, введены специальные аналоги понятия непрерывности отображений. Для отображений, заданных на выпуклом ограниченном множестве и удовлетворяющих одному из таких условий, доказа- на возможность единственного продолжения по непрерывности на банахово пространство, порождённое антикомпактом, содержащее исходное пространство. При этом такое продолжение будет иметь непо- движную точку. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие разные случаи расположения этой точки по отношению к исходному пространству. Доказаны аналоги некоторых основных результатов в произволь- ных банаховых пространствах.
К оценкам сейш в бухтах Крыма методом конечных элементов
Чехов В. Н., Лушников В. А.
Стр. 93 — 102
Получены приближенные оценки решения задачи о собственных колебаниях уровня моря в системе 19 бухт, которые объединены общим названием «Севастопольская бухта». Оценки частот и собственных форм колебаний получены с помощью метода конечных элементов. Обмен водой между бухтами и Черным морем учитывался в первом приближении для всех собственных форм колебаний (так, как это принято для моды Гельмгольца).
Периодическая задача для уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной
Чуйко С. М., Чуйко А. С., Несмелова (Старкова) О. В.
Стр. 103 — 112
Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автоном- ной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Льенара, не разрешенного относитель- но производной. Рассмотрен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также предложена сходящаяся итерационная схема. В качестве примера иссле- дована задача о нахождении периодических решений нелинейной системы уравнений Лотка-Вольтерра, которое в малой окрестности положения равновесия приведено к автономной периодической задаче для слабонелинейного уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной.
О регулярности бесконечных систем для установившихся вынужденных колебаний ортотропных прямоугольных призм
Ляшко А. Д., Чехов В. Н.
Стр. 113 — 124
Получено новое аналитическое представление решения для установившихся колебаний ор- тотропной прямоугольной призмы и соответствующая бесконечная система линейных алгебраических уравнений. По сравнению с известными аналитическими представлениями новое представление суще- ственно упрощает анализ регулярности, существования решения бесконечной системы и применимость метода улучшенной редукции для численных оценок решения бесконечной системы. Впервые найдено счетное множество элементарных собственных частот и собственные формы колебаний ортотропных прямоугольных призм, которые соответствуют известным модам Ламе для изотропных призм. Пред- ставлен пример вычисления наименьшей собственной частоты колебаний. Численно исследовано увели- чение верхней границы регулярности бесконечной системы при исключении из нее нескольких первых неизвестных.